1. Определение. F(z) - аналитическая функция комплексной переменной на всей комплексной плоскости кроме кривой C.
Пусть C- кусочно-гладкая кривая конечной длины L:
ds=L и f(x ) непрерывна в" точкеx
C. Тогда при z
C $
F(z)=
- интеграл типа Коши. Теорема 8.1. В " z0
C F(z0)-
дифференцируема и F'(z0)=
. Доказательство. Пусть z0 и z0+D z
C. Т.к. z0C, то $d
0>0 и d0>0 такие, что :замкнутый круг
|z-z0|
d0
,будет находиться на конечном расстоянии
d0>0 от кривой C. Пусть
|D z|<d0. Тогда для
"x С:
|x -z0|>d0, |x -z0-D z
|>d0.
=
=
=
<e при |D z|<d <d 0=> $
=F'(z0)=n.
Замечание.
Непрерывность
F'(z), z C доказывается аналогично с помощью
оценки |D F'(z)|.
Теорема 8.2.
При zC F(z)C
(E\C). Уже доказана.
2. Существование производных всех порядков в области
аналитичности функции комплексной переменной.
Теорема 8.3. При
zП C F(z) имеет
непрерывные n-е производные для " n, причем F(n)(z)=
. Доказывается методом
математической индукции.
Теорема 8.4. (Основная!). Если f(z)C(g),
то для " n и
" z g $ f(n)(z)C (g).
Доказательство. Пусть z0g. Построим замкнутый контур C, содержащий
z0, который можно стянуть к
z0, оставаясь все время в g.
Тогда в силу интегральной формулы Коши f(z0)=
, но это интеграл типа Коши => $ f(n)(z0)=
=>
f(n)(z0)C(g) для "
z0g n.
Итак, если функция f(z) является аналитической в g, то у
нее в g $
непрерывные производные всех порядков. Это существенное отличие от функции
действительной переменной имеющей непрерывную первую производную в некоторой
области, для которой из существования первой производной, вообще говоря, не
следует существование высших производных. Например, функция y(x)=x|x| непрерывна
на всей числовой прямой; ее производная y'(x)=2|x| также непрерывна на всей числовой прямой, однако, y"(0) не
существует .
Дальнейшие следствия
теоремы Коши и интеграла Коши Теорема
Морера. Если f(z) Теорема
Лиувилля. Определение. Целая функция Важное замечание. Конфомное
отображение плоскости с выколотой точкой или расширенной плоскости на единичный
круг невозможно!
3.
Теоремы Морера и Лиувилля.
C(g), g-односвязная и для " g
g: 
f(z)dz=0, где g -замкнутый контур, который можно стянуть в точку,
оставаясь в g, то f(z)C (g).
Доказательство. При условиях теоремы $ F(z)=
C (g)
(Теорема 6.1) , где
z0 и z- произвольные точки g, а
интеграл берется по " пути g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная
аналитической функции сама является аналитической функцией (Теорема 8.4) , т.е.
$ F"(z) C(g) а
именно F"(z)=f'(z)
C(g).n
Замечание.
1. Теорема Морера является в некотором
смысле обратной к теореме Коши.
2. Теорема 8.4 и Теорема
Морера справедливы и для многосвязных ообластей.
Если f(z)C (E) и f(z)
const, то при z
, |f(z)| .
Другая формулировка:
Если f(z)C (E) и
$ M: |f(z)| M для
" z (|f(z)|-
равномерно ограничен), то f(z)
const.
Доказательство. f'(z)=
., где CR: |x -z|=R. По условию теоремы
$ M:
|f(z)| M, независимо от R => |f'(z)| 2p RM/2p R2=M/R. Т.к. R можно выбрать сколь угодно большим (R ), а f'(z) не зависит от R, то
|f'(z)|=0. В силу произвольности выбора z, |f'(z)|=0 на всей комплексной
плоскости E=>f(z)const для " z.n
f(z)C (E)(на всей комплексной плоскости) (z ) называется целой
функцией.
const не может быть ограничена по
абсолютной величине.
Так например, целые
функции sin z и cos z неограничены по модулю!
Пример целой функции. Функция
f(z)=zn.
Отображение области однолистности
Сектор раскрыва 2p /n отображается на всю комплексную плоскость.
| Назад | Вверх | Вперед |